NukeBoards

Rozrywka - Zagadki matematyczne

Minty - 29-10-2006, 20:17
:
a) mamy n losów, z czego jeden wygrywa. Kupujemy 1 los
1/n

b) mamy 2n losów, z czego 2 wygrywają. Kupujemy 1 los
2/2n = 1/n

c) mamy n losów, z czego 1 wygrywa. Kupujemy 2 losy
1/n + 1/(n-1)

d) mamy 2n, z czego 2 wygrywają. Kupujemy 2 losy.
2/2n + 2/(2n-1) = 1/n + 2/(2n-1)


Kod:
n>=1, n>=2
<=>
n>=2


Kod:
c =? d
1/n + 1/(n-1) =? 1/n + 2/(2n-1)
1/(n-1) =? 2/(2n-1)
2(n-1) =? 2n-1
2n-2 =? 2n-1
-2 =/= -1

Grałabym w c :)
morty - 29-10-2006, 20:39
:
c) i d) są źle :)
Kurczak - 29-10-2006, 23:04
:
Odpowiedzi: (Uzasadnię jeśli będzie dobrze :P )
a) mamy n losów, z czego jeden wygrywa. Kupujemy 1 los
1/n
b) mamy 2n losów, z czego 2 wygrywają. Kupujemy 1 los
1/n
c) mamy n losów, z czego 1 wygrywa. Kupujemy 2 losy
2/(9*n)
d) mamy 2n, z czego 2 wygrywają. Kupujemy 2 losy.
2/(19*n)
No i ciekawe, czy dobrze to wykombinowałem... ;)
Jakim - 29-10-2006, 23:07
:
Skąd to 9 i 19, jeśli mogę wiedzieć? ;)
Kurczak - 29-10-2006, 23:17
:
Jakim: jak napisałem na górze tamtego posta - uzasadnię jeśli będzie dobrze :P

DODANO:
Zauważyłem, że pasuje to tylko dla określonego n, ale już poprawiam, bo znalazłem odpowiednią odpowiedź (chyba :P ):

Odpowiedzi: (Uzasadnię jeśli będzie dobrze )
a) mamy n losów, z czego jeden wygrywa. Kupujemy 1 los
1/n
b) mamy 2n losów, z czego 2 wygrywają. Kupujemy 1 los
1/n
c) mamy n losów, z czego 1 wygrywa. Kupujemy 2 losy
1/(n^2-n)/2
d) mamy 2n, z czego 2 wygrywają. Kupujemy 2 losy.
1/n^2*2-n
No, chyba teraz dobrze... ;)
morty - 30-10-2006, 09:44
:
Kurczak napisał/a:
Jakim: jak napisałem na górze tamtego posta - uzasadnię jeśli będzie dobrze :P

DODANO:
Zauważyłem, że pasuje to tylko dla określonego n, ale już poprawiam, bo znalazłem odpowiednią odpowiedź (chyba :P ):

Odpowiedzi: (Uzasadnię jeśli będzie dobrze )
a) mamy n losów, z czego jeden wygrywa. Kupujemy 1 los
1/n
b) mamy 2n losów, z czego 2 wygrywają. Kupujemy 1 los
1/n
c) mamy n losów, z czego 1 wygrywa. Kupujemy 2 losy
1/(n^2-n)/2
d) mamy 2n, z czego 2 wygrywają. Kupujemy 2 losy.
1/n^2*2-n
No, chyba teraz dobrze... ;)

edit update: nawet nawiasy nie poprawiły sytuacji - źle spojrzałem więc i c będzie źle :P
Oba źle :)
Żeby nie przedłużać, za moment dam rozwiązanie
Kurczak - 30-10-2006, 10:02
:
A, właśnie zapomniałem o nawiasach... :oops:
No to wracając do d) to wyszło mi teraz to:
1/( ( (2*n)^2 - 2*n ) /4 ) :P Taraz za to sporo tych nawiasów xD .
Ale wtedy dla liczb nieparzystych wyjdzie mianownik z przecinkiem, np. dla 5 będzie 1/22,5 a więc aby temy zapobiec można zapisać to również tak:
2/( ( ( 2*n ) ^2 - 2*n ) /2 ) Wtedy dla 5 wyjdzie 2/45
Dobrze? :D
morty - 30-10-2006, 10:12
:
Kurczak napisał/a:
Dobrze? :D

Źle :) Po policzeniu na kartce okazało się, że jednak i nawiasy niewiele by dały :P Oto rozwiązanie:

I SPOSÓB ROZWIĄZANIA

Podpunkt A:
n losów, 1 wygrywa, kupujemy 1

liczba zdarzeń elementarnych = n po 1 = n
liczba zdarzeń sprzyjających = 1
P(A) = 1 / n

Podpunkt B
2n losów, 2 wygrywają, kupujemy 1

liczba zdarzeń elementarnych = 2n po 1 = 2n
liczba zdarzeń sprzyjających = 2
P(B) = 2/2n = 1/n

Podpunkt C
n losów, 1 wygrywa, kupujemy 2 losy

liczba zdarzeń elementarnych = n po 2 = n! / (2! * (n-2)!) = n*(n-1) / 2
liczba zdarzeń sprzyjających = 1*(n-1 po 1) = n-1 // interesują nas pary, w których jeden z losów wygrywa (stąd ta jedynka, bo tylko jeden taki jest) oraz gdzie drugi los z pary przegrywa (jest ich n-1)
P(C)=(n-1)/(n*(n-1)/2) = 2/n

Podpunkt D
2n losów 2 wygrywają kupujemy 2

liczba zdarzeń elementarnych: 2n po 2 = 2n! / (2*(2n-2)!) = 2n*(2n-1)/2 = n(2n-1)
liczba zdarzeń sprzyjających: 2 po 2 + 2 po 1 * (2n-2 po 1) = 1 + 2*(2n-2) = 4n-3 // interesują nas pary, w których albo oba losy wygrały - stąd 2 po 2 czyli jeden na początku - oraz taki w których jeden z losów wygrał - wygranych jest 2 po 1 czyli 2, przegranych 2n-2 po 1 czyli 2n-2
P(D)=(4n-3) / (n(2n-1))


To była metoda opierająca się na znajomości prawdopodobieństwa klasycznego. Ale można to zrobić prościej i na logikę:

II SPOSÓB ROZWIĄZANIA

Nie będę robił podpunktu A i B bo większość go dobrze policzyła.

Podpunkt C
n losów, 1 wygrywa, kupujemy 2

Najpierw policzmy ile możliwych kombinacji losów możemy wyciągnąć.
Kupujemy 2 losy, więc na pierwszym miejscu może być każdy z n losów, na drugim każdy z n-1 losów. Ponieważ nie interesuje nas kolejność, tą wartość musimy jeszcze podzielić przez 2, ponieważ 2 losy możemy ułożyć na 2 sposoby. W ten sposób otrzymujemy łączną liczbę kombinacji: n(n-1)/2

Teraz policzmy ile z tych par nas zadawala, to znaczy zawiera jeden wygrany los.
Takich kombinacji jest oczywiście n-1, bo na tyle sposobów możemy dobrać przegrany los do jednego, który wygrywa. Mamy więc 1*(n-1) = n-1

Dzielimy drugą wartość przez pierwszą i mamy

P(C)=(n-1) / (n(n-1)/2) = 2 / n <- i to jest poprawna odpowiedź na punkt C

Podpunkt D

Tak jak poprzednio - liczymy, na ile sposobów można wybrać losy. Na pierwszym miejscu może być dowolny z 2n losów, na drugim dowolny z 2n-1 losów. Dzielimy przez dwa bo nie liczy się kolejność, i mamy: 2n(2n-1)/2 = n(2n-1)

Liczba kombinacji nam sprzyjających to będzie liczba kombinacji w której dwa losy wygrywają, lub jeden z nich wygrywa. Jest oczywiście jedna możliwość, w której oba wygrywają, a liczbę, w której jeden wygrywa musimy policzyć następująco: Dla każdego z 2 losów wygrywających dobieramy 2n-2 losów przegrywających, co daje nam 2(2n-2). Dodajemy do tego ową jedynkę, i mamy: 1 + 4n - 4 czyli 4n-3

P(D)= (4n-3) / (n(2n-1)) <- poprawna odpowiedź

Jak widać, niezależnie od obranej metody dochodzimy do tego samego :D

NOWE ZADANIE
Ponieważ nikt nie rozwiązał powyższego, oto moje następne zadanie:

Oszacujcie, czy poniższe zdanie jest prawdziwe czy fałszywe czy też zależy (od czego?):
Cytat:
Jeśli liczba pierwsza jest podzielna przez 4 to tą liczbą jest osiem

copperdragon - 30-10-2006, 15:14
:
Jest prawdziwe. Zachodzi tu implikacja. W implikacji natomiast wystarczy, żeby pierwsze zdanie było fałszywe, a wtedy układ zdań jest prawdziwy. Nie ma liczby pierwszej podzielnej przez 4 (by 4 jest liczbą złożoną), więc całe zdanie jest prawdziwe. :P
Good?
radex - 30-10-2006, 16:18
:
Liczba pierwsza jest podzielna tylko przez siebie i przez jeden więc chyba zdanie jest nieprawdziwe. Jeśli o to chodzi :P
morty - 30-10-2006, 18:11
:
Copperdragon zgadł :) Mała podpowiedź - w którymś miejscu na forum (chyba Śmieszne teksty) tłumaczyłem dlaczego tak jest z przykładem, wystarczyło zajrzeć :D
copperdragon - 30-10-2006, 20:51
:
Hmm... no dobra, to ja zapodaję zdanie z pewnej książki:
Otóż:
Jeśli deszcz pada, to ulice są mokre.
Czy zachodzi tutaj równoważność? Odpowiedź uzasadnij.
msg - 30-10-2006, 21:30
:
Myślę że nie zachodzi, gdyż rozumując na odwrót:
nie zawsze ulicę są mokre od padania deszczu.
Kurczak - 30-10-2006, 23:45
:
No właśnie. jeśli pada deszcz to znaczy, że ulice mokną, czyli są mokre, ale jeśli ulice są mokre, to nie znaczy, że od padającego deszczu, mogą przecież zmoknąć w inny sposób... :P
copperdragon - 31-10-2006, 00:35
:
MSG zadaje.
Inny sposób zmoczenia ulic: jak "wspaniały" urząd je olewa. :P