NukeBoards

Rozrywka - Zagadki matematyczne

Jakim - 02-11-2006, 21:41
:
Bynajmniej, teraz BROO zadaje :) .
BROO - 02-11-2006, 22:53
:
Oj, nie mam na żadną pomysłu :( .
copperdragon - 04-11-2006, 18:54
:
No to w takim razie ja kontynuuję temat.
Mamy takie zdanie oznaczone jako A=>B:
Jeśli A=>B = 0, to A=>B = 1
(czyli: jeśli to całe zdanie jest fałszywe, to to całe zdanie jest prawdziwe)

1. Kiedy zdanie A=>B jest fałszywe, a kiedy prawdziwe?
2. Załóżmy, że zdanie A=>B jest prawdziwe. Czemu nie można stwierdzić, czy to zdanie jest równoważne (tj. czy zdanie B=>A też jest prawdziwe?).

Mam nadzieję, że zrozumiecie, o co mi chodziło. ;)
PoW - 04-11-2006, 19:00
:
1. Tylko z prawdy nie wynika fałsz, w związku z powyższym gdy A jest prawdziwe a B fałszywe zdanie A=>B jest fałszywe. W innych przypadkach A=>B jest prawdą.
2. No i właśnie z tego powodu nie jest to zdanie równoważne ;)
copperdragon - 04-11-2006, 20:56
:
Oj, PoW, niezupełnie jest to tak.
ad1. Wskazówka: Zdanie A i B się wykluczają.
ad2. Żeby się nie czepiali nieścisłości, zadam pytanie inaczej. Czy zdanie B=>A jest prawdziwe, czy fałszywe?
jarlfenrir - 05-11-2006, 02:34
:
niezbyt rozumiem, ale odpowiem tak:
jeśli A => B, to wcale nie oznacza, że B => A
Gdyby było
A <=> B, to owszem, wtedy również B <=> A
copperdragon - 05-11-2006, 03:56
:
Yhm... no cóż... przyjrzyjcie się tamtym zdaniom. To nie jest tylko to A=>B i B=>A. To A=>B to jest również:
Jeśli to całe zdanie jest fałszywe, to to całe zdanie jest prawdziwe
(całym zdaniem jest tu oczywiście zdanie A=>B)
Przyjrzyjcie się tym zdaniom od tej strony i sami określcie, czy zdanie B=>A jest prawdziwe. ;)
jarlfenrir - 05-11-2006, 04:12
:
copperdragon napisał/a:
No to w takim razie ja kontynuuję temat.
Mamy takie zdanie oznaczone jako A=>B:
Jeśli A=>B = 0, to A=>B = 1
(czyli: jeśli to całe zdanie jest fałszywe, to to całe zdanie jest prawdziwe)

1. Kiedy zdanie A=>B jest fałszywe, a kiedy prawdziwe?
2. Załóżmy, że zdanie A=>B jest prawdziwe. Czemu nie można stwierdzić, czy to zdanie jest równoważne (tj. czy zdanie B=>A też jest prawdziwe?).

Mam nadzieję, że zrozumiecie, o co mi chodziło. ;)


już kapuję, ale mylący jest spójnik "to". Masz na myśli coś w rodzaju:
[(A=>B) = 0] <=> [(A=>B) = 1] lub:
[(A=>B) = 0] => [(A=>B) = 1]

Na 1. odpwiedź brzmi: jest prawdziwe, kiedy B=0, jest fałszywe, kiedy A=0 i B=0
Na 2. gdyż całe jest prawdziwe, gdy B=1. Możliwa jest sytuacja, że A=0, wówczas przy "odwróceniu" zdań mogłoby się zdarzyć (właściwe 50% szansy) że z prawdy wynikałby fałsz (wówczas zdanie jest fałszywe).
morty - 05-11-2006, 11:01
:
copperdragon napisał/a:
No to w takim razie ja kontynuuję temat.
Mamy takie zdanie oznaczone jako A=>B:
Jeśli A=>B = 0, to A=>B = 1
(czyli: jeśli to całe zdanie jest fałszywe, to to całe zdanie jest prawdziwe)

1. Kiedy zdanie A=>B jest fałszywe, a kiedy prawdziwe?
2. Załóżmy, że zdanie A=>B jest prawdziwe. Czemu nie można stwierdzić, czy to zdanie jest równoważne (tj. czy zdanie B=>A też jest prawdziwe?).

Mam nadzieję, że zrozumiecie, o co mi chodziło. ;)


1) Zdanie A=>B zawsze jest prawdziwe. Nie może być fałszywe, bo wówczas musiałoby być prawdziwe. Jeśli z kolei jest prawdziwe, to z punktu widzenia prawdziwości implikacji mogłoby być i prawdziwe i fałszywe, ale znów mamy rozbieżność, tak więc zostaje tylko opcja że jest ono prawdziwe.

2) Nie można, bo B=>A może być fałszywe - warunki zadania tego nie precyzują.
copperdragon - 05-11-2006, 14:34
:
Arrh... tak się nad tym męczycie. Czyżbym coś napisał nie tak? Może wyjaśnię całą zagadkę...

1. Zdanie brzmi: Jeśli całe zdanie jest fałszywe, to całe zdanie jest prawdziwe.
I teraz określmy, jak to jest.
Załóżmy, że zdanie A=>B jest fałszywe. Wtedy to będzie wyglądało tak:
A = 1 (bo prawdą jest, że całe zdanie jest fałszywe)
B = 0 (bo nieprawdą jest, że całe zdanie jest prawdziwe)
A=>B = 0 (bo fałsz wynika z prawdy, co nie może nastąpić)
Z kolei jeśli całe zdanie jest prawdziwe...
A = 0 (bo nieprawdą jest, że całe zdanie jest fałszywe)
B = 1 (bo prawdą jest, że całe zdanie jest prawdziwe)
A=>B = 1 (bo dowolna rzecz wynikająca z fałszu jest prawdziwa)

Przyglądając się temu, można zauważyć, że wartość logiczna zdania A=>B jest zawsze równa wartości logicznej zdania B, co zresztą udowadnia samo zdanie. Tak samo będzie w przypadku B=>A...

2. I dlatego nie można określić równoważności (zakładając, że równoważność zachodzi wtedy, kiedy odwrotna implikacja jest prawdziwa, a niekoniecznie wtedy, kiedy wartość logiczna obu zdań jest równa). Teraz bowiem mamy takie zdanie:
Jeśli całe zdanie jest prawdziwe, to całe zdanie jest fałszywe.
Załóżmy, że całe zdanie jest prawdziwe. Pamiętajmy, że B = B=>A. Zgodnie z tym:
B = 1 (całe zdanie jest prawdziwe, więc to też)
A = 0 (całe zdanie jest prawdziwe, więc to nie jest)
B=>A = 1 czy 0?

No właśnie... wiadomo, że B = B=>A, lecz w tym wypadku fałsz wynika z prawdy... i co wy na to? :P No to może spróbujmy z fałszywym zdaniem...
B = 0 (całe zdanie jest fałszywe, więc to też)
A = 1 (całe zdanie jest fałszywe, więc to jest prawdą)
B=>A = 0 czy 1?

I o so tu właściwie chozi? Z fałszu zawsze wynika prawda, więc zdanie B=>A powinno być prawdziwe. Lecz wiadomo, że B = B=>A. Więc jak to ma być rozwiązane?
Rzecz w tym, że tutaj nie ma rozwiązania. Nie można określić, czy zdanie jest równoważne, czy nie. Zachodzi tutaj sprzeczność, która nie pozwala określić wartości logicznej zdania B=>A. Teraz rozumiecie? ;)

Jeśli nadal nie do końca wiecie, o co chodzi, poczytajcie o paradoksie kłamcy, to powinno stać się to jaśniejsze, czemu to zdanie jest takie "byle jakie". ;)
morty - 05-11-2006, 15:06
:
Coś mi tu szwankuje :) Mianowicie napisałeś:
"Jeśli A=>B = 0, to A=>B = 1"

jeśli oznaczymy sobie zdanie:
F - implikacja a=>B jest fałszywa

to Twoje zdanie zapisujemy

F => ~F

Jeśli F będzie prawdziwe, to implikacja jest fałszywa, czyli F nie może być prawdziwe. A skoro F nie jest prawdziwe, to znaczy że implikacja a=>b musi być prawdziwa.

Więcej opcji nie ma :)
copperdragon - 05-11-2006, 16:02
:
morty napisał/a:
Jeśli F będzie prawdziwe, to implikacja jest fałszywa, czyli F nie może być prawdziwe.

Dobra, wyjaśnijmy to inaczej.
Jak napisałeś, to zdanie brzmi tak:
Jeśli A=>B = 0, to A=>B = 1
Gdyby trzeba było to przedstawić słowami, to wtedy by to wyglądało tak:

Jeśli ta implikacja jest fałszywa, to ta implikacja jest prawdziwa.

Zgodnie z tym wartość logiczna implikacji zawsze będzie równa wartości logiczna drugiego zdania (~F), bo drugie zdanie określa prawdziwość implikacji. Natomiast wartość logiczna pierwszego zdania jest zawsze inna niż wartość logiczna implikacji, bo stwierdza o jej fałszywości. Czyli ogólnie mówiąc:
F nie jest równe F=>~F
~F jest równe F=>~F

I co się teraz dzieje? Mamy taką tabelę logiczną:

Kod:
F ~F F=>~F
0 1 1
1 0 0

Wszystko pasuje, bo w dowolnej prawidłowej implikacji wynikanie fałszu z prawdy jest fałszem, a wynikanie prawdy z fałszu jest zawsze prawdą.
morty - 05-11-2006, 17:16
:
copperdragon napisał/a:
morty napisał/a:
Jeśli F będzie prawdziwe, to implikacja jest fałszywa, czyli F nie może być prawdziwe.

Dobra, wyjaśnijmy to inaczej.
Jak napisałeś, to zdanie brzmi tak:
Jeśli A=>B = 0, to A=>B = 1
Gdyby trzeba było to przedstawić słowami, to wtedy by to wyglądało tak:

Jeśli ta implikacja jest fałszywa, to ta implikacja jest prawdziwa.

Z punktu widzenia logiki będzie to prawda tylko wtedy gdy implikacja będzie prawdziwa.

Jeśli będzie fałszywa (prawdziwy poprzednik) to jedyny sposób żeby implikacja była prawdziwa to prawdziwy następnik. Ale takiej sytuacji być nie może, bo jeśli następnik jest prawdziwy to implikacja jest prawdziwa, czyli następuje sprzeczność z założeniem.

Jeśli założymy że implikacja jest prawdziwa (fałszywy następnik), to następnik może być teoretycznie dowolny, a w praktyce może być tylko prawdzwy, ponieważ gdyby był fałszywy to by wynikało, że z prawdziwości implikacji wywnioskowaliśmy jej fałsz.

Tak oto dochodzimy do tego, że przy założeniu

F => ~F

F musi być fałszywe, czyli implikacja A=>B musi być PRAWDZIWA.
copperdragon - 05-11-2006, 19:41
:
morty napisał/a:
Jeśli będzie fałszywa (prawdziwy poprzednik) to jedyny sposób żeby implikacja była prawdziwa to prawdziwy następnik. Ale takiej sytuacji być nie może, bo jeśli następnik jest prawdziwy to implikacja jest prawdziwa, czyli następuje sprzeczność z założeniem.

Nie wiem, nie do końca to zrozumiałe na pierwszy (drugi, trzeci, czwarty, ósmy, piętnasty, szesnasty, dwudziesty trzeci, czterdziesty drugi) rzut oka.

Spróbuję przełożyć ten tekst na język (prawie) zwykłych śmiertelników:

Jeśli implikacja będzie fałszywa, to poprzednik (warunek) będzie prawdziwy.
W tym wypadku aby implikacja była prawdziwa, następnik, czyli wynik, również musi być prawdziwy.
Jednak nie może być prawdziwy, bo wtedy implikacja będzie prawdziwa, czyli będzie to sprzeczne z założeniem, że jest fałszywa.

Idąc dalej tym tropem możemy dojść do wniosku, że następnik jest fałszywy.
A skoro jest fałszywy, to znaczy, że ma inną wartość logiczną niż poprzednik, czyli wszystko się zgadza, bo następnik i poprzednik się wykluczają.
Okazuje się również, że skoro następnik jest fałszywy, a poprzednik jest prawdziwy, to implikacja również jest fałszywa.

Morty, jeśli znajdziesz jakiś błąd w moim rozumowaniu, zacytuj fragment z tym błędem pogrubiając ten błąd, bo nie wiem, co jest źle. :P
morty - 05-11-2006, 19:49
:
Ja przede wszystkim nie wiem, co tym udowodniłeś :) Ja udowodniłem, że A=>B jest prawdą przy założeniu jakie poczyniłeś. Ty mi tu udowadniasz, ale nie przedstawiasz końcowego wniosku - czy A=>B jest prawdziwe czy nie :D