[Sunflower]

Jako, że ponoć jeszcze nie ma takiego tematu (jakby był, to pewnie Fadex, którego się pytałam, by o nim wiedział ), to postanowiłam założyć. Tutaj można dzielić się różnorakimi zadaniami mniej lub bardziej matematycznymi na rozruszanie szarych komórek.

Kilka mniej lub bardziej luźnych reguł i wskazówek co do umieszczania zadań:
wiedza potrzebna do rozwiązania zadania nie powinna wykraczać poza zakres typowego gimnazjum/liceum (matura rozszerzona z matematyki powinna stanowić dobre odniesienie); równaniom różniczkowym czy liczbom zespolonym mówimy tutaj HET (czyt. "niet").
zadanie powinno mieć określony wynik, do którego da się jednoznacznie dojść ścisłym rozumowaniem na podstawie wejściowych założeń, napisanych lub domniemanych (w razie wątpliwości można domagać się doprecyzowania od umieszczającego zadanie, np. "czy uwzględniamy opór powietrza")
raczej nie należy wysyłać swojego zadania, jak jeszcze nie ma odpowiedzi na poprzednie, chyba, że upłynęło kilka dni od umieszczenia
fajnie by było, jakby zadania były w miarę ciekawe, a już na pewno żeby różniły się między sobą, a nie były tym samym ze zmienionymi parametrami
zadania odnoszące się w ten czy inny sposób do świata rzeczywistego bardzo mile widziane

Co do pozostałych postów:
domyślnie zakłada się, że dany post odnosi się do ostatnio umieszczonego zadania; jeśli jest inaczej, należy podać link do postu z zadaniem
jeśli dana kwestia wydaje się nieoczywista (np. uwzględnianie oporu powietrza), można się dopytać, ale bez przesady; pytanie "czy dane wejściowe na pewno podano w systemie dziesiętnym, a nie trzynastkowym" raczej mija się z celem - nie chodzi przecież o to, żeby każde zadanie było pieczołowitym spisem poczynionych założeń i uproszczeń
forma rozwiązań dowolna, byle zrozumiała; może być bezpośrednio w poście, mogą być PDFy wygenerowane z LaTeXa (niektórzy wolą tak, i w sumie się nie dziwię), może być nawet gra w MMFie wykorzystująca ImageManip (lub samą ikonkę rozszerzenia), jeśli ktoś bardzo potrzebuje
post z rozwiązaniem nie może zawierać bezpośrednio widocznego wyniku; w razie czego można skorzystać z tagów "spoiler"

To by było na tyle, jeśli chodzi o kwestie organizacyjne; powyższe listy mogę poszerzać, jak wyniknie taka potrzeba.

----------

Pierwsze zadanie jest inspirowane pewnym ogłoszeniem społecznym dotyczącym bezpieczeństwa na drogach. Samego ogłoszenia nie widziałam, ale podobno rzecz dotyczyła przestrzegania ograniczeń prędkości na drogach.

Mianowicie, mamy taką sytuację: kierowca jedzie z daną prędkością po ulicy. W pewnej odległości od przejścia dla pieszych dostrzega kogoś, kto tam nieopatrznie wchodzi, w związku z czym daje po hamulcach ile sił. Otóż twórcy ogłoszenia bodajże sprawdzili (czy w symulacji, czy innymi metodami?) z jaką szybkością samochód uderzy pieszego w zależności od szybkości przed rozpoczęciem hamowania. Wyszło im, że:
- dla szybkości początkowej 60km/h samochód uderzy pieszego z szybkością 45km/h
- dla szybkości początkowej 50km/h samochód uderza z szybkością 5km/h
Należy także pamiętać, że za czas reakcji kierowcy przyjęto 1 sekundę. Tyle czasu upływa między dostrzeżeniem pieszego a rozpoczęciem hamowania.

Na potrzeby zadania przyjmujemy, że hamujący samochód porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym.

Mając te dane, należy wyznaczyć:
- jaką odległość od pieszego przyjęli twórcy ogłoszenia
- jakie opóźnienie wprowadza hamulec

Enjoy!

[Neoqueto]

Za dwadzieścia minut próbna matura z matematyki, powtarzam proste i zapominalne rzeczy z internetu, chwila odpoczynku od matmy, wchodzę na NB, a tutaj ten temat.

#truestory #coolstory

[Fadex]

Szastnę wzorcówką, a co się będę przepraszam za brak LaTeXa ale trochę mi się nie chce '

Kod:

( zaokrąglam do drugiej liczby po przecinku, bo nie potrzeba tu jakiejś super dokładności ) Dane: V1 = 60 km/h ~ 16,67 m/s V1' = 45 km/h = 12,5 m/s V2 = 50 km/h ~ 13,89 m/s V2' = 5 km/h ~ 1,39 m/s Czas reakcji t = 1s. Szukane: a - opóźnienie s - całkowita droga t1 - czas hamowania w pierwszym przypadku t2 - czas hamowania w drugim przypadku ruch jest jednostajnie opóźniony, zatem: s = v1 * t + (v1+v1')/2 * t1; s = v2 * t + (v2+v2')/2 * t2; opóźnienie jest stałe w obu przypadkach, zatem: a = Δv/Δt; a = (v2-v2')/t2; a = (v1-v1')/t1; => t1/t2 = (V1-V1') / (V2-V2'); => t1/t2 = 1/3; => t2 = 3*t1; - w drugim przypadku czas hamowania jest trzykrotnie większy. podstawiamy t2 = 3*t1 ....s = v1 * t + (v1+v1')/2 * t1; ....s = v2 * t + (v2+v2')/2 * 3 * t1; (-) ================================ .=> 0 = (v1 - v2) * t - (v2+v2') * 3/2 * t1 + (v1+v1')/2 * t1; => (v1 - v2) * t = t1 * [ (v2+v2') * 3/2 - (v1+v1')/2 ]; => t1 = (v1 - v2) * t / [ (v2+v2') * 3/2 - (v1+v1')/2];

Zatem wyniki to...

Spoiler:

t1 = 1/3 s;
t2 = 1 s;
s ~ 21,53 m;
a = Δv/Δt ~ (13,89 - 1,39) / 1 = 12,5 m/s^2;

Ode mnie macie algorytmiczną łamigłówkę, a co.
Należy posortować tablicę n - elementową, o której nie wiemy nic. Mamy przy tym użyć jak najmniejszej liczby porównań pomiędzy dwoma elementami z tablicy.
Liczba porównań jaką trzeba wykonać aby posortować 1 element wynosi 0 (to powinno być łatwe ).
Liczba porównań jaką trzeba wykonać aby posortować 2 elementy wynosi 1 (musimy wiedzieć który jest większy aby go ustawić na końcu).
W przypadku trzech elementów w tablicy sprawa się nieco komplikuje, ale możecie uwierzyć na słowo że wystarczą trzy porównania. Jeśli ktoś nie wierzy to patrzymy tu :

Kod:

Liczby a, b, c są reprezentantami tablicy trzech elementów. Złośliwy przypadek decyzji w porównaniach: Pierwsze porównanie: a > b Drugie porównanie: a > c ALBO b < c uzyskujemy tutaj informację, że a jest elementem maksymalnym lub że b jest elementem minimalnym. Nie wiemy jednak jaka jest relacja pomiędzy c i pozostałym elementem - jesteśmy zmuszeni wykorzystać trzecie porównanie.

Pytanie:
A) Czy można posortować 4 elementy używając tylko pięciu porównań?
B) Czy można posortować 5 elementów używając ośmiu porównań?
C*) Czy można posortować 5 elementów używając siedmiu porównań? Należy uzasadnić.

[Jakim]

Wszystko zależy jedynie od liczebności zbioru permutacji S(s) i rodziny wszystkich zbiorów n-elementowych, gdzie n to liczba porównań, a s - liczba elementów zbioru.

Sortowanie jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy 2^n >= s!. Ktoś chce formalny, acz niekonstruktywny dowód?

EDIT: fałsz.

[Fadex]

Przykro mi, ale nie masz racji. Jeden z moich wykładowców znalazł kontrprzykład dla bodajże n = 13 (czy 14?). Także udowodnić tego nie możesz

Przy czym n jest liczbą elementów, a liczba porównań sufit z log2(n!)

PS: Ale oczywiście sam koncept jest poprawny, ta liczba wynosi *mniej-więcej* tyle.

Przydzielam Ci prawo do nadania kolejnej zagadki. Spoiler alert - a, b i c były prawdą, można posortować w tylu porównaniach.

[Jakim]

Hm, faktycznie. Tym niemniej jest to dolne ograniczenie:

Jeżeli 2^n<s!, to sortowanie jest niemożliwe.

Tym niemniej dla pary (n,s) = (7,5) sortowanie jest możliwe.

Porównajmy a;b oraz c;d. Możemy założyć, że a>b oraz c>d, wówczas porównujemy a;c. Po raz kolejny możemy założyć, że a>c. Wówczas porównujemy a;c;d;e (2 porównania, c>d, a>c jest znane) oraz e;c;d;b (również dwa porównania).

[Fadex]

Żeby nie było, że rzucam słowa na wiatr.
Źródło1: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=740654
Źródło2: http://www.wolframalpha.c...2%2813%21%29%29
i źródło3: https://usosweb.mimuw.edu.pl/kontroler.php?_action=actionx:katalog2/osoby/pokazOsobe(os_id:874)

[Jakim]

Dla chcących pogłówkować wrzucam mały problem do rozwiązania.

Rozważmy klasyczną wersję znanej gry Snake, która rozgrywa się na ustalonej planszy n x m (co najmniej 3 x 3). Do tej gry wprowadzamy nowego gracza, który na początku rozgrywki ustawia pozycję i kierunek początkowy węża (2 x 1), stawia pierwsze jabłko i przy każdym zebranym przez pierwszego gracza jabłka rozmieszcza według uznania kolejne. Pierwszy gracz natomiast ma nieograniczony czas na ruch węża w wybranym kierunku. Gracz pierwszy nie może powtórzyć swojego układu, tj. po pewnym czasie powrócić do swojego poprzedniego ułożenia węża na planszy; sytuacja taka traktowana jest jako zwycięstwo drugiego gracza.

Czy któryś z graczy ma strategię wygrywającą? Uzasadnij, przyjmując odpowiednie założenia co do gry.

Uwaga: samo napisanie algorytmu wygrywającego nie rozwiązuje problemu. Co więcej: jest to niepotrzebne.